【題目】如圖所示,在四棱錐P﹣ABCD中,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=PA=2,PA⊥平面ABCD,E是PC的中點,F是AB的中點.
(1)求證:BE∥平面PDF;
(2)求證:平面PDF⊥平面PAB;
(3)求BE與平面PAC所成的角.
【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)45°.
【解析】
(1)取PD的中點為M,連接ME,MF,證明BE∥MF,BE∥平面PDF即得證;
(2)先證明DF⊥平面PAB,平面PDF⊥平面PAB即得證;
(3)利用定義法求BE與平面PAC所成的角.
(1)證明:取PD的中點為M,連接ME,MF,
∵E是PC的中點,∴ME是△PCD的中位線.
∴ME∥CD,MECD.
又∵F是AB的中點,且由于ABCD是菱形,
∴AB∥CD,AB=CD,∴ME∥FB,且ME=FB.
∴四邊形MEBF是平行四邊形,∴BE∥MF.
∵BE平面PDF,MF平面PDF,
∴BE∥平面PDF.
(2)證明:∵PA⊥平面ABCD,DF平面ABCD,
∴DF⊥PA.連接BD,
∵底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴△DAB為正三角形.
∵F是AB的中點,∴DF⊥AB.
∵PA∩AB=A,∴DF⊥平面PAB.
∵DF平面PDF,∴平面PDF⊥平面PAB.
(3)連結(jié)BD交AC于O,∵底面ABCD是菱形,∴AC⊥BD,
∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BD,∴BD⊥平面PAC.
∴OB⊥OE,即OE是BE在平面PAC上的射影.
∴∠BEO是BE與平面PAC所成的角.
∵O,E,分別是中點,∴OEAP=1,OD1,
∴Rt△BOE為等腰直角三角形,∴∠BEO=45°,
即BE與平面PAC所成的角的大小為45°.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在三棱錐中,底面ABC,點D,E分別為棱PA,PC的中點,M是線段AD的中點,N是線段BC的中點,,.
Ⅰ求證:平面BDE;
Ⅱ求直線MN到平面BDE的距離;
Ⅲ求二面角的大。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某工廠為了對研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數(shù)據(jù):
單價元 | 9 | 9.2 | 9.4 | 9.6 | 9.8 | 10 |
銷量件 | 100 | 94 | 93 | 90 | 85 | 78 |
預計在今后的銷售中,銷量與單價仍然服從這種線性相關關系,且該產(chǎn)品的成本是5元/件,為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應定為( )
(附:對于一組數(shù)據(jù),,…,,其回歸直線的斜率的最小二乘估計值為.參考數(shù)值:,)
A. 9.4元 B. 9.5元 C. 9.6元 D. 9.7元
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知數(shù)列為遞增的等差數(shù)列,,,,其中.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)設,求數(shù)列的前項和;
(3)設,求使不等式對一切均成立的最大實數(shù).
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對邊分別為a,b,c,且bsinC+2csinBcosA=0.
(1)求∠A大;
(2)若a=2,c=2,求△ABC的面積S的大。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設函數(shù)且x,.
(1)判斷的奇偶性,并用定義證明;
(2)若不等式在上恒成立,試求實數(shù)a的取值范圍;
(3)的值域為函數(shù)在上的最大值為M,最小值為m,若成立,求正數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(2016·北京卷)如圖,在四棱錐P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.
(1)求證:PD⊥平面PAB;
(2)求直線PB與平面PCD所成角的正弦值;
(3)在棱PA上是否存在點M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點.
()求的取值范圍.
()記兩個極值點, ,且,已知,若不等式恒成立,求的取值范圍.
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