Question

1．如果我們定義[a，b，c]為二次函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)，那么下面給出的特征數(shù)為[2m，1-m，-1-m]的函數(shù)的一些結論：
①當m=-3時，函數(shù)圖象的頂點坐標是（ $\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$ ）；
②當m＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于 $\frac{3}{2}$；
③當m＜0時，函數(shù)在x＞$\frac{1}{4}$ 時，y隨x的增大而減��；
④當m≠0時，函數(shù)圖象恒過同一個點．
其中正確的結論有（　�。�

• A． ①②③④
• B． ①②④
• C． ①③④
• D． ②④

Answer 1

分析 ①把m=-3代入[2m，1-m，-1-m]，求得[a，b，c]，求得解析式，利用頂點坐標公式解答即可；
②令函數(shù)值為0，求得與x軸交點坐標，利用兩點間距離公式解決問題；
③首先求得對稱軸，利用二次函數(shù)的性質解答即可；
④根據(jù)特征數(shù)的特點，直接得出x的值，進一步驗證即可解答．

解答 解：因為函數(shù)y=ax²+bx+c的特征數(shù)為[2m，1-m，-1-m]；
①當m=-3時，y=-6x²+4x+2=-6（x-$\frac{1}{3}$）²+$\frac{8}{3}$，頂點坐標是（$\frac{1}{3}$，$\frac{8}{3}$）；此結論正確；
②當m＞0時，令y=0，有2mx²+（1-m）x+（-1-m）=0，解得x₁=1，x₂=-$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{2m}$，
|x₂-x₁|=$\frac{3}{2}$+$\frac{1}{2m}$＞$\frac{3}{2}$，所以當m＞0時，函數(shù)圖象截x軸所得的線段長度大于$\frac{3}{2}$，此結論正確；
③當m＜0時，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m） 是一個開口向下的拋物線，其對稱軸是：$\frac{m-1}{4m}$，在對稱軸的右邊y隨x的增大而減�。�因為當m＜0時，$\frac{m-1}{4m}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{4m}$＞$\frac{1}{4}$，即對稱軸在x=$\frac{1}{4}$右邊，因此函數(shù)在x=$\frac{1}{4}$右邊先遞增到對稱軸位置，再遞減，此結論錯誤；
④當x=1時，y=2mx²+（1-m）x+（-1-m）=2m+（1-m）+（-1-m）=0 即對任意m，函數(shù)圖象都經過點（1，0）那么同樣的：當m=0時，函數(shù)圖象都經過同一個點（1，0），當m≠0時，函數(shù)圖象經過同一個點（1，0），故當m≠0時，函數(shù)圖象經過x軸上一個定點此結論正確．
根據(jù)上面的分析，①②④都是正確的，③是錯誤的．
故選：B．

點評 此題考查二次函數(shù)的性質，頂點坐標，兩點間的距離公式，以及二次函數(shù)圖象上點的坐標特征．