Question

3．若α，β都是銳角，且sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，則cosβ=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．

Answer 1

分析 由題意可得sinα和α的范圍，進而由sin（α+β）=$\frac{3}{5}$縮小α+β的范圍，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得cos（α+β），再由兩角差的余弦公式可得．

解答 解：∵α為銳角，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$＜$\frac{1}{2}$，∴$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinα=$\sqrt{1-co{s}^{2}α}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∵sin（α+β）=$\frac{3}{5}$，且$\frac{1}{2}$＜$\frac{3}{5}$＜$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{π}{6}$＜α+β＜$\frac{π}{3}$，或$\frac{2π}{3}$＜α+β＜$\frac{5π}{6}$，
結(jié)合$\frac{π}{3}$＜α＜$\frac{π}{2}$可得$\frac{2π}{3}$＜α+β＜$\frac{5π}{6}$，
∴cos（α+β）=-$\sqrt{1-si{n}^{2}（α+β）}$=-$\frac{4}{5}$，
則cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-$\frac{4}{5}$×$\frac{\sqrt{5}}{5}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．
故答案為：$\frac{2\sqrt{5}}{25}$．

點評 本題考查兩角和與差的三角函數(shù)公式和同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，縮小角的范圍是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題和易錯題．