Question

17．如圖，在矩形ABCD中，BC=2AB，PA⊥平面ABCD，E為BC的中點．
（Ⅰ）求證：DE⊥平面PAE；
（Ⅱ）若PA=AB=2，F(xiàn)為PE的中點，求三棱錐A-DEF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在矩形ABCD中，由題意可得△ABE，△CDE均為等腰直角三角形，得到AE⊥DE．再由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥DE．然后利用線面垂直的判定可得DE⊥平面PAE；
（Ⅱ）直接利用等積法求三棱錐A-DEF的體積．

解答 （Ⅰ）證明：在矩形ABCD中，∵BC=2AB，E為BC的中點．
∴$BE=CE=\frac{1}{2}BC=AB=CD$，
∴△ABE，△CDE均為等腰直角三角形，
∴$∠AEB=∠DEC=\frac{π}{4}$，得AE⊥DE．
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥DE．
又AE∩PA=A，∴DE⊥平面PAE；
（Ⅱ）解：∵AB=2，∴${S_{△ADE}}=\frac{1}{2}×2×4=4$．
∵F為PE的中點，∴${V_{A-DEF}}={V_{F-ADE}}=\frac{1}{2}{V_{P-ADE}}=\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×4×2=\frac{4}{3}$．

點評 本題考查直線與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．