Question

2．如圖，三棱錐P-ABC中，△ABC是正三角形，△ACP是直角三角形，∠ABP=∠CBP，AB=BP．
（1）證明：平面ACP⊥平面ABC；
（2）若E為棱PB與P不重合的點(diǎn)，且AE⊥CE，求AE與平面ABC所成的角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得：△ABP≌△CBP．可得AP=CP，由△ACP是直角三角形，可得△ACP是等腰直角三角形，∠APC=90°．取AC的中點(diǎn)O，連接OP，OB．可得OP⊥AC，OB⊥AC．可得OP²+OB²=BP²，可得OP⊥OB．可得OP⊥平面ABC．即可證明結(jié)論．
（2）在△ABP中，AE⊥BP，利用面積可得AE=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．可得BE=$\frac{3}{2}$．在平面BPO內(nèi)：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OB，垂足為點(diǎn)F，則EF⊥平面ABC，連接AF．可得∠EAF是AE與平面ABC所成的角．進(jìn)而得出．

解答 （1）證明：∵∠ABP=∠CBP，AB=BP=BC．
∴△ABP≌△CBP．
∴AP=CP，
又△ACP是直角三角形，∴△ACP是等腰直角三角形，∠APC=90°．
Q取AC的中點(diǎn)O，連接OP，OB．
則OP⊥AC，OB⊥AC．
不妨設(shè)AC=2．
則OP=1，OB=$\sqrt{3}$，BP=AB=2．
∴OP²+OB²=BP²=4，∴∠BOP=90°．
∴OP⊥OB．又OB∩AC=O．
∴OP⊥平面ABC．OP?平面ACP．
∴平面ACP⊥平面ABC．
（2）解：在△ABP中，AE⊥BP，∴AE=$\frac{\sqrt{2}×\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}}{2}$=$\frac{\sqrt{7}}{2}$．
可得BE=$\sqrt{{2}^{2}-（\frac{\sqrt{7}}{2}）^{2}}$=$\frac{3}{2}$．
在平面BPO內(nèi)：過(guò)點(diǎn)E作EF⊥OB，垂足為點(diǎn)F，則EF⊥平面ABC，連接AF．
則∠EAF是AE與平面ABC所成的角．
∴$\frac{EF}{OP}=\frac{BE}{BP}$，可得EF=$\frac{\frac{3}{2}×1}{2}$=$\frac{3}{4}$．
∴sin∠EAF=$\frac{EF}{AE}$=$\frac{3\sqrt{7}}{14}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間位置關(guān)系、線面面面垂直的判定定理與性質(zhì)定理、線面角、勾股定理與逆定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．