Question

9．下列四個命題：
①拋物線x²=4y的焦點坐標(biāo)是（1，0）；
②等差數(shù)列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，則公比為$\frac{1}{2}$；
③已知a＞0，b＞0，a+b=1，則$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值為$5+2\sqrt{6}$；
④在△ABC中，已知$\frac{a}{cosA}=\frac{cosB}=\frac{c}{cosC}$，則∠A=60°．
正確命題的序號有③④．

Answer 1

分析 ①拋物線x²=4y的焦點在y軸上，判斷原命題錯誤；
②等差數(shù)列{a_n}為常數(shù)列時，公比q=1，判斷原命題錯誤；
③利用基本不等式求出$\frac{2}{a}+\frac{3}$的最小值為$5+2\sqrt{6}$，判斷原命題正確；
④由正弦定理得出$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，A=B=C=60°判斷原命題正確．

解答 解：對于①，拋物線x²=4y的焦點坐標(biāo)是（0，1），原命題錯誤；
對于②，等差數(shù)列{a_n}中，a₁，a₃，a₄成等比數(shù)列，則${{（a}_{1}+2d）}^{2}$=a₁（a₁+3d），
當(dāng)d=0時，a₁=a₃=a₄，公比q=1；
當(dāng)d≠0時，a₁=-4d，a₃=-2d，a₄=-d，公比q=$\frac{1}{2}$；原命題錯誤；
對于③，a＞0，b＞0，a+b=1，則
$\frac{2}{a}+\frac{3}$=$\frac{2a+2b}{a}$+$\frac{3a+3b}$=5+$\frac{2b}{a}$+$\frac{3a}$≥5+2$\sqrt{6}$，當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{2b}{a}$=$\frac{3a}$時“=”成立；
即最小值為$5+2\sqrt{6}$，原命題正確；
對于④，△ABC中，$\frac{a}{cosA}=\frac{cosB}=\frac{c}{cosC}$，
由正弦定理得$\frac{sinA}{cosA}$=$\frac{sinB}{cosB}$=$\frac{sinC}{cosC}$，
即tanA=tanB=tanC；
又A、B、C∈（0，π），
所以A=B=C=60°；原命題正確；
綜上，正確的命題序號是③④．
故答案為：③④．

點評 本題考查了命題真假的判斷問題，也考查了拋物線與等差、等比數(shù)列的應(yīng)用問題，基本不等式與解三角形的應(yīng)用問題，是綜合性題目．