Question

6．一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長(zhǎng)都為1，頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（　　）

• A． 20π
• B． $\frac{{20\sqrt{5}π}}{3}$
• C． 5π
• D． $\frac{{5\sqrt{5}π}}{6}$

Answer 1

分析 作出六棱柱的最大對(duì)角面與外截球的截面，設(shè)正六棱柱的上下底面中心分別為O₁，O₂，球心為O，一個(gè)頂點(diǎn)為A，如右圖．可根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定理算出球的半徑OA，再用球的體積公式即可得到外接球的體積．

解答 解：作出六棱柱的最大對(duì)角面與外截球的截面，如右圖，則該截面矩形分別以底面外接圓直徑和六棱柱高為兩邊，
設(shè)球心為O，正六棱柱的上下底面中心分別為O₁，O₂，則球心O是O₁，O₂的中點(diǎn)．
∵正六棱柱底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為1，
∴Rt△AO₁O中，AO₁=1，O₁O=$\frac{1}{2}$，可得AO=$\sqrt{{1}^{2}+（{\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
因此，該球的體積為V=$\frac{4}{3}$π•（$\frac{\sqrt{5}}{2}$）³=$\frac{5\sqrt{5}π}{6}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題給出一個(gè)正六棱柱，求它的外接球的體積，著重考查了球的內(nèi)接多面體和球體積公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．