Question

16．在三棱錐P-ABC中，底面ABC是等腰三角形，∠BAC=120°，BC=2，PA⊥平面ABC，若三棱錐P-ABC的外接球的表面積為8π，則該三棱錐的體積為$\frac{2\sqrt{2}}{9}$．

Answer 1

分析 作出草圖，根據(jù)底面△ABC與截面圓的關(guān)系計算截面半徑，根據(jù)球的面積計算球的半徑，利用勾股定理計算球心到截面的距離，得出棱錐P-ABC的高．

解答 解：過A作平面ABC所在球截面的直徑AD，連結(jié)BD，CD，
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠ABC=∠ACB=∠ADC=∠ADB=30°．
∴∠BCD=∠CBD=∠BDC=60°．即△BCD是等邊三角形．
∵BC=2，∴AD=$\frac{1}{\sqrt{3}}+\sqrt{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$．
過球心O作OM⊥平面ABC，則M為AD的中點，
∴AM=$\frac{1}{2}AD=\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
設(shè)外接球半徑為r，則4πr²=8π，∴r=$\sqrt{2}$．即OA=$\sqrt{2}$．
∴OM=$\sqrt{O{A}^{2}-A{M}^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵PA⊥平面ABC，
∴PA=2OM=$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．
∴V_P-ABC=$\frac{1}{3}{S}_{△ABC}•PA$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2×\frac{1}{\sqrt{3}}×\frac{2\sqrt{6}}{3}$=$\frac{2\sqrt{2}}{9}$．
故答案為$\frac{2\sqrt{2}}{9}$．

點評 本題考查了棱錐與外接球的關(guān)系，棱錐的體積計算，屬于中檔題．