Question

10．已知點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)P是圓C：（x+1）²+y²=8上的任意一點(diǎn)，線段PA的垂直平分線與直線CP交于點(diǎn)E．
（1）求點(diǎn)E的軌跡方程；
（2）若直線l與點(diǎn)E的軌跡有兩個(gè)不同的交點(diǎn)M和N，問(wèn)點(diǎn)E的軌跡的右焦點(diǎn)F是否可以為△BMN的垂心？其中B為上頂點(diǎn)．若可以，求出直線l的方程；若不可以，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意畫(huà)出圖形，然后利用橢圓定義可得點(diǎn)E的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上，2a=$2\sqrt{2}$，2c=2的橢圓，結(jié)合隱含條件求出b后可得橢圓方程；
（2）假設(shè)右焦點(diǎn)F為△BMN的垂心，由F（1，0），可得直線BF的斜率為-1，從而直線l的斜率為1，設(shè)其方程為y=x+m．聯(lián)立直線方程和橢圓方程，化為關(guān)于x的一元二次方程，求出M，N的橫坐標(biāo)的和與積，再由$\overrightarrow{NF}•\overrightarrow{MB}=0$求得k值得答案．

解答 解：（1）如圖，由題意可得|EC|+|EA|=|EC|+|EP|=$2\sqrt{2}$＞|AC|=2，
則由橢圓的定義可知點(diǎn)E的軌跡為焦點(diǎn)在x軸上，2a=$2\sqrt{2}$，2c=2的橢圓，
∴$a=\sqrt{2}，c=1，b=1$，
則橢圓E的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）假設(shè)右焦點(diǎn)F為△BMN的垂心，
∵F（1，0），∴直線BF的斜率為-1，從而直線l的斜率為1，設(shè)其方程為y=x+m．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得3x²+4mx+2m²-2=0．
由△=16m²-24（m²-1）=24-8m²＞0，得m²＜3．
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{3}m，{x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-2}{3}$．
于是$\overrightarrow{NF}•\overrightarrow{BM}=（1-{x}_{2}）{x}_{1}-{y}_{2}（{y}_{1}-1）$=x₁+y₂-x₁x₂-y₁y₂=x₁+x₂+m-x₁x₂-（x₁+m）（x₂+m）
=$-2{x}_{1}{x}_{2}+（1-m）（{x}_{1}+{x}_{2}）+m-{m}^{2}$=$-2•\frac{2{m}^{2}-2}{3}+（1-m）•（-\frac{4m}{3}）+m-{m}^{2}$=$-{m}^{2}-\frac{1}{3}m+\frac{4}{3}=0$，
解得m=1或m=$-\frac{4}{3}$．
當(dāng)m=1時(shí)，點(diǎn)B即為直線l與橢圓的交點(diǎn)，不合題意；
當(dāng)m=-$\frac{4}{3}$時(shí)，經(jīng)檢驗(yàn)直線l和橢圓相交，符合題意．
∴當(dāng)且僅當(dāng)直線l的方程為y=x-$\frac{4}{3}$時(shí)，點(diǎn)F是△BMN的垂心．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用橢圓的定義求橢圓的方程，考查了直線與圓錐曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用向量數(shù)量積判斷兩直線的垂直關(guān)系，是中檔題．