19.已知F1,F(xiàn)2為橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1(a>b>0)的左、右焦點,以原點O為圓心,半焦距為半徑的圓與橢圓相交于四個點,設位于y軸右側的兩個交點為A,B,若△ABF1為等邊三角形,則橢圓的離心率為(  )
A.$\sqrt{2}$-1B.$\sqrt{3}$-1C.$\frac{{\sqrt{2}-1}}{2}$D.$\frac{{\sqrt{3}-1}}{3}$

分析 由△ABF1為等邊三角形,及橢圓的對稱性可得:∠AF1F2=30°,又∠F1AF2=90°,可得AF2,AF1,利用橢圓的定義可得:c+$\sqrt{3}c$=2a,即可得出.

解答 解:由△ABF1為等邊三角形,及橢圓的對稱性可得:∠AF1F2=30°,

又∠F1AF2=90°,
∴AF2=c,AF1=$\sqrt{3}$c,
∴c+$\sqrt{3}c$=2a,可得$\frac{c}{a}$=$\frac{2}{\sqrt{3}+1}$=$\sqrt{3}$-1.
故選:B.

點評 本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質、等邊三角形的性質,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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