Question

已知y=f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數，當x≥0時，f（x）=x²-2x-3．
（1）用分段函數形式寫出y=f（x）的解析式；
（2）寫出y=f（x）的單調區(qū)間；
（3）求出函數的最值．

Answer 1

考點：函數奇偶性的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）只需求出x＜0時f（x）的表達式即可．設x＜0，則-x＞0，利用已知表達式可求出f（-x），再根據f（x）與f（-x）關系即可求解．
（2）當x≥0時，f（x）=x²-2x-3，對稱軸為x=1，當x≤0時，f（x）=x²+2x-3，對稱軸為x=-1，由此能求出f（x）的單調區(qū)間．
（3）利用拋物線的性質和分類討論思想能求出函數的最值．

解答： 解：（1）∵y=f（x）是定義在（-∞，+∞）上的偶函數，
當x≥0時，f（x）=x²-2x-3，
∴當x＜0時，設x＜0，則-x＞0，
∴f（x）=f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3．
即x＜0時，f（x）=x²+2x-3．
故f（x）=

x2-2x-3，x≥0 x2+2x-3，x＜0

．
（2）當x≥0時，f（x）=x²-2x-3，
對稱軸為x=1，
∴增區(qū)間為[1，+∞），減區(qū)間為[0，1]；
當x≤0時，f（x）=x²+2x-3，
對稱軸為x=-1，
∴增區(qū)間為[-1，0），減區(qū)間為（-∞，-1]．
綜上，f（x）的增區(qū)間為[-1，0），[1，+∞），減區(qū)間為（-∞，-1]，[0，1]．
（3）由（2）知，當x≥0時，f（x）=x²-2x-3，
f（x）_min=f（1）=1-2-3=-4，無最大值；
當x≤0時，f（x）=x²+2x-3，
f（x）_min=f（-1）=1-2-3=-4，無最大值．
綜上，函數的最小值為-4，無最大值．

點評：本題考查函數的解析式、單調區(qū)間和最值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．