Question

5．設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=2x²+（x-a）|x-a|，g（x）=lnx；
（1）若f（0）=1，試判斷y=f[g（x）]在[e，+∞）上的單調(diào)性（無需證明）；
（2）求f（x）的最小值；
（3）設(shè)h（x）=2x²+（3a-2）x-（5a²-7a-3），且x∈（a，+∞），求不等式f（x）＞h（x）的解集．

Answer 1

分析 （1）由f（0）=1求出a=-1，從而f（x）=3x²+2x+1，設(shè)t=g（x）=lnx，從而函數(shù)f[g（x）]是由f（t）和t=lnx復合而成的復合函數(shù)，容易說明t=lnx，y=f（t）分別在其定義域[e，+∞），[1，+∞）上單調(diào)遞增，從而得出函數(shù)y=f[g（x）]在[e，+∞）上是增函數(shù)；
（2）去絕對值號得到f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{3（x-\frac{a}{3}）^{2}+\frac{2}{3}{a}^{2}}&{x≥a}\\{（x+a）^{2}-2{a}^{2}}&{x＜a}\end{array}\right.$，討論a≥0和a＜0兩種情況，然后根據(jù)二次函數(shù)求最小值，分別求每種情況下x≥a，x＜a兩段函數(shù)上f（x）的最小值，通過比較大小，這樣即可求出每種情況下函數(shù)f（x）的最小值；
（3）設(shè)G（x）=f（x）-h（x）=[x-（2a-3）][x-（3a+1）]，x∈（a，+∞），從而看出G（x）=0有兩個實數(shù)根x=2a-3，和x=3a+1，要解G（x）＞0，從而需比較2a-3和3a+1的大小，從而分2a-3＜3a+1，2a-3＞3a+1，和2a-3=3a+1三種情況對a的取值進行討論，并且在每種情況下2a-3，3a+1和a進行比較，從而寫出G（x）＞0即f（x）＞g（x）的解．

解答 解：（1）若f（0）=-a|-a|=1，則a=-1；
∴在[e，+∞）上，f（x）=2x²+（x+1）²=3x²+2x+1；
對于函數(shù)y=f[g（x）]，設(shè)t=g（x）=lnx，t≥1；
∴f（t）=3t²+2t+1，t≥1；
而t=lnx在[e，+∞）上單調(diào)遞增，f（t）在[1，+∞）上單調(diào)遞增；
∴復合函數(shù)y=f[g（x）]在[e，+∞）上單調(diào)遞增；
（2）記f（x）的最小值為F（a）；
f（x）=2x²+（x-a）|x-a|=$\left\{\begin{array}{l}{3（x-\frac{a}{3}）^{2}+\frac{2}{3}{a}^{2}}&{x≥a}\\{（x+a）^{2}-2{a}^{2}}&{x＜a}\end{array}\right.$；
①當a≥0時，1）若x≥a，f（x）在[a，+∞）上單調(diào)遞增，∴此時f（x）的最小值為f（a）=2a²；
2）若x＜a，x=-a時，f（x）取最小值f（-a）=-2a²；
∴F（a）=-2a²；
②當a＜0時，1）若x≥a，f（x）的最小值為$f（\frac{a}{3}）=\frac{2}{3}{a}^{2}$；
2）若x＜a，f（x）在（-∞，a）上單調(diào)遞減，∴此時f（x）＞f（a）=2a²；
∴$F（a）=\frac{2}{3}{a}^{2}$；
綜上得F（a）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{a}^{2}}&{a≥0}\\{\frac{2}{3}{a}^{2}}&{a＜0}\end{array}\right.$；
（3）設(shè)G（x）=f（x）-h（x）=2x²+（x-a）²-2x²-（3a-2）x+（5a²-7a-3）
=x²-（5a-2）x+（6a²-7a-3），x∈（a，+∞）；
△=（a+4）²≥0，G（x）=[x-（2a-3）][x-（3a+1）]，x∈（a，+∞）；
∴①若2a-3＜3a+1，即a＞-4；
解G（x）＞0得，x＜2a-3，或x＞3a+1；
1）若3a+1＜a，即a$＜-\frac{1}{2}$，則G（x）＞0的解為x＞a；
即$-4＜a＜-\frac{1}{2}$時，f（x）＞h（x）的解為x＞a；
2）若3a+1≥a，且2a-3＜a，即$-\frac{1}{2}≤a＜3$，解G（x）＞0得x＞3a+1；
∴f（x）＞g（x）的解為x＞3a+1；
3）若2a-3≥a，即a≥3，解G（x）＞0得a＜x＜2a-3，或x＞3a+1；
∴f（x）＞g（x）的解為a＜x＜2a-3，或x＞3a+1；
②若2a-3＞3a+1，即a＜-4，2a-3-a=a-3＜0；
∴f（x）＞g（x）的解為x＞a；
③若2a-3=3a+1，即a=-4；
∴f（x）＞g（x）的解為x＞a；
綜上得，1）$a＜-\frac{1}{2}$時，f（x）＞h（x）的解集為（a，+∞）；
2）$-\frac{1}{2}≤a＜3$時，f（x）＞h（x）的解集為（3a+1，+∞）；
3）a≥3時，f（x）＞h（x）的解集為（a，2a-3）∪（3a，+1）．

點評 考查對數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性，以及復合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，二次函數(shù)最值、分段函數(shù)最值的求法，以及解一元二次不等式的方法．