Question

4．如圖所示，橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1的左，右頂點(diǎn)分別為A，A′，線段CD是垂直于橢圓長軸的弦，連接AC，DA′相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{9}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)C（x₀，y₀），D（x₀，-y₀），求出直線AC和直線A′D的方程，將兩式相乘，再利用C點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系化簡得出軌跡方程．

解答 解：A（-3，0），A′（3，0），設(shè)C（x₀，y₀），D（x₀，-y₀），
∴直線AC的方程為y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+3}$（x+3），直線A′D的方程為y=-$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}-3}$（x-3），
兩式相乘得到y(tǒng)²=$\frac{-{{y}_{0}}^{2}}{{{x}_{0}}^{2}-9}$（x²-9），①，
∵C（x₀，y₀）在橢圓$\frac{{x}^{2}}{9}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1上，
∴y₀²=4（1-$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{9}$），
∴P點(diǎn)軌跡方程為y²=$\frac{4}{9}$（x²-9），即$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}$=1．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了軌跡方程的求法，屬于中檔題．