Question

如圖甲，在直角梯形ABCP中，BC∥AP，AB⊥BC，CD⊥AP，AD=DC=PD，E、F、G分別是PC、PD、BC的中點，現(xiàn)將△PDC沿CD折起，使平面PDC⊥平面ABCD（如圖乙），且所得到的四棱錐P-ABCD的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面積總和為8．
（1）求點C到平面EFG的距離；
（2）求二面角G-EF-D夾角的余弦值；
（3）在線段PB上確定一點Q，使PC⊥平面ADQ，并給出證明過程．

Answer 1

考點：點、線、面間的距離計算,用空間向量求平面間的夾角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由題意可得AD=DC=PD=2，取AD的中點H，易得DQ⊥平面EFGH且DQ=

2

2

，由CD∥平面EFGH可得DQ即為所求；（2）由（1）可知∠DFH就是二面角G-EF-D的平面角，由RT△HDF易得答案；（3）設(shè)

PQ

=λ

PB

（0＜λ＜1），則

AQ

=

AP

+

PQ

=（-2+2λ，2λ，2-2λ），由

AQ

•

PC

=0可得λ=

1

2

，即點Q是PB的中點．

解答： 解：（1）由幾何體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖的面積總和為8可得AD=DC=PD=2，
取AD的中點H，連接FH、GH，∵E、F、G分別是PC、PD、BC的中點，
∴GH∥CD∥EF，∴E、F、G、H四點共面，
作DQ⊥FH于Q，易得DQ⊥平面EFGH且DQ=

2

2

，
又CD∥平面EFGH，∴點D到平面EFGH的距離DQ=

2

2

即為所求；
（2）由（1）可知∠DFH就是二面角G-EF-D的平面角，
在RT△HDF中，DF=

1

2

PD=1，DH=

1

2

AD=1，
∴∠DFH=45°，即面角G-EF-D的大小為45°，余弦值為

2

2

；
（3）設(shè)

PQ

=λ

PB

（0＜λ＜1），則

AQ

=

AP

+

PQ

=（-2+2λ，2λ，2-2λ），
∵AQ⊥PC，∴

AQ

•

PC

=0，∴2×2λ-2（2-2λ）=0，
解得λ=

1

2

，又AD⊥PC，∴PC⊥平面ADQ，
∴點Q是PB的中點．

點評：本題考查空間線面位置關(guān)系，涉及二面角和三視圖，屬中檔題．