Question

f（x）定義在R上，同時(shí)滿足：
①對(duì)任意x∈R，f³（x）+f³（-x）=-3f（x）f（-y）[f（x）+f（-x）]都成立；
②對(duì)任意x≠y，xf（x）+yf（y）≥xf（y）+yf（x）成立
若f（m²+6m+21）+f（n²-8n）≤0，則m²+n²的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件①分解因式得f（-x）=-f（x）函數(shù)為奇函數(shù)，由條件②函數(shù)為增函數(shù)，不等式轉(zhuǎn)化為（m+3）²+（n-4）²≤4，
由幾何意義推出，點(diǎn)（m，n）在圓（m+3）²+（n-4）²=4上及圓內(nèi)，而m²+n²表示點(diǎn)（m，n）到原點(diǎn)的距離，結(jié)合幾何意義易推結(jié)果．

解答： 解：由條件①對(duì)任意x∈R，f³（x）+f³（-x）=-3f（x）f（-y）[f（x）+f（-x）]都成立；
分解因式得[f（x）+f（-x）][f²（x）+f²（-x）-f（x）f（-y）]=-3f（x）f（-y）[f（x）+f（-x）]
所以[f（x）+f（-x）][f²（x）+f²（-x）+2f（x）f（-y）]=0
所以[f（x）+f（-x）]³=0
所以f（x）+f（-x）=0
∴f（-x）=-f（x），函數(shù)為奇函數(shù)；
由條件②對(duì)任意x≠y，xf（x）+yf（y）≥xf（y）+yf（x）成立
則xf（x）+yf（y）-xf（y）-yf（x）≥成立
所以（x-y）[f（x）-f（y）]≥0
所以：x＞y時(shí)f（x）≥f（y）]，x＜y時(shí)f（x）≤f（y）]，
所以函數(shù)為增函數(shù)
若f（m²+6m+21）+f（n²-8n）≤0，等價(jià)于f（m²+6m+21）≤-f（n²-8n）=f（8n-n²）
所以m²+6m+21≤8n-n²
所以m²+n²+6m-8n+21≤0，即（m+3）²+（n-4）²≤4
∴點(diǎn)（m，n）在圓（m+3）²+（n-4）²=4上及圓內(nèi)，而m²+n²表示點(diǎn)（m，n）到原點(diǎn)的距離，
故問題轉(zhuǎn)化為圓上點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最大與最小問題，
因?yàn)閳A心到原點(diǎn)的距離為5，所以圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的最大距離為5+2=7，到原點(diǎn)的最小距離為5-2=3，
∴m²+n²的取值范圍是[3，7]
故答案為：[3，7]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，特別是對(duì)抽象函數(shù)的考查，等價(jià)轉(zhuǎn)化是解決問題的關(guān)鍵．