Question

對(duì)于函數(shù)f（x）=a+

2

2x+1

x∈R是奇函數(shù)．
（1）求a值；
（2）用定義證明：f（x）在R上是單調(diào)減函數(shù)；
（3）解不等式f（2t+1）+f（t-5）≤0．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）先利用f（0）=0求出a的值，然后驗(yàn)證即可；
（2）按照：取值、作差變形、判斷符號(hào)下結(jié)論的步驟進(jìn)行；
（3）利用單調(diào)性構(gòu)造關(guān)于t的不等式即可．

解答： 解：（1）因?yàn)閤∈R，所以f（0）=0，解得a=-1，
經(jīng)驗(yàn)證a=-1時(shí)，f（-x）=-f（x）恒成立，故a=-1即為所求；
（2）由（1）知f（x）=

2

2x+1

-1．
任取x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）
=

2

2x1+1

-

2

2x2+1

=

2(2x2-2x1)

(2x1+1)(2x2+1)

．
因?yàn)閥=2^x是R上的增函數(shù)，且x₁＜x₂，
所以2x2-2x1＞0，所以上式＞0，
所以f（x₁）＞f（x₂）．
故f（x）在R上是減函數(shù)．
（3）結(jié)合函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，所以f（2t+1）+f（t-5）≤0可化為：
f（2t+1）≤f（5-t），
又因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在R上是減函數(shù)，
所以2t+1≥5-t，解得t≥

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性性質(zhì)，以及利用奇偶性和單調(diào)性求解不等式的問(wèn)題思路，難度不大．