Question

（1）已知直線l與直線l₁：x-y+1=0平行，點(diǎn)A（2，4）與點(diǎn)A₁（m，-2）關(guān)于直線l對(duì)稱．求直線l的方程；
（2）若直線l過點(diǎn)P（1，-2）且與x的正半軸及y的負(fù)半軸于A、B兩點(diǎn)，求當(dāng)|PA|•|PB|最小時(shí)l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：直線與圓

分析：（1）設(shè)直線l的方程為x-y+t=0，依題意，可得

m=4-t -2=2+t

，從而可得t=-4，直線l的方程可求得；
（2）設(shè)直線l的方程為 （y+2）=k（x-1）（k＞0），分別求得A（1+

2

k

，0），B（0，-k-2）；利用兩點(diǎn)間的距離公式及基本不等式即可求得k的值，從而可得直線l的方程．

解答： 解：（1）設(shè)直線l的方程為x-y+t=0，
則x=y-t，y=x+t，
∵點(diǎn)A（2，4）與點(diǎn)A₁（m，-2）關(guān)于直線l對(duì)稱，直線l的斜率為特殊值1，
∴

m=4-t -2=2+t

，解得t=-4，
∴直線l的方程為x-y-4=0（也可以利用AA₁的中點(diǎn)在直線l上，AA₁的斜率為-1，聯(lián)立解決）；
（2）設(shè)直線l的方程為 （y+2）=k（x-1）（k＞0），
令y=0，則x=1+

2

k

，則A點(diǎn)的坐標(biāo)為A（1+

2

k

，0）；
令x=0，則y=-k-2，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為B（0，-k-2）；又P（1，-2），
根據(jù)兩點(diǎn)距離公式有
|PA|•|PB|=

4 k2 +(-2-0)2

•

(1-0)2+(-2+k+2)2

=

4 k2 +4

•

k2+1

=2

1+ 1 k2 +k2+1

≥2×2=4，當(dāng)且僅當(dāng)

1

k2

=k²，即k=1時(shí)取“=”．
此時(shí)，直線l的方程為y+2=x-1，即x-y-3=0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對(duì)稱的直線方程，考查兩點(diǎn)間的距離公式及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題．