正三棱柱ABC-A1B1C1中,棱AA1=AB=a,且點D、E分別為棱AA1、B1C1的中點.
(1)求證:A1E∥面BDC1
(2)求二面角C1-BD-B1的平面角的正切值.
考點:直線與平面平行的判定,與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題
專題:空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析:(1)在線段BC1上取中點F,連結(jié)EF,DF,由已知得四邊形EFDA1是平行四邊形,由此能證明A1E∥面BDC1
(2)以A為原點,AC為y軸,AA1為Z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角C1-BD-B1的平面角的正切值.
解答: (1)證明:在線段BC1上取中點F,連結(jié)EF,DF,
∴EF∥DA1,且EF=DA1,
∴四邊形EFDA1是平行四邊形,
∴A1E∥FD,又A1E不包含于平面BDC1,F(xiàn)D?平面BDC1
∴A1E∥面BDC1
(2)解:以A為原點,AC為y軸,AA1為Z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系,
則C1(0,a,a),B(
3
a
2
a
2
,0),
D(0,0,
a
2
),B1
3
a
2
,
a
2
,a),
BC1
=(-
3
2
a
,
a
2
,0),
BD
=(-
3
2
a
,-
a
2
,
a
2
),
BB1
=(0,0,a),
設(shè)平面C1BD的法向量
n
=(x,y,z),
n
BC1
=-
3
2
ax+
a
2
y=0
n
BD
=-
3
2
ax-
a
2
y+
a
2
z=0
,
取x=2
3
,得
n
=(2
3
,6,12),
設(shè)平面BDB1的法向量
m
=(x1,y1,z1),
m
BD
=-
3
2
ax1-
a
2
y1+
a
2
z1=0
m
BB1
=az1=0
,
x1=
3
,得
m
=(
3
,-3,0),
|cos<
n
,
m
>|=|
6-18
192
12
|=
1
4
,
設(shè)二面角C1-BD-B1的平面角為θ,
則cosθ=
1
4
,tanθ=
15

∴二面角C1-BD-B1的平面角的正切值為
15
點評:本題考查直線與平面平行的證明,考查二面角的正切值的求法,解題時要認(rèn)真審題,注意向量法的合理運用.
練習(xí)冊系列答案
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△y
△x
等于( 。
A、2
B、2+△x
C、2+2△x
D、2△x+(△x)2

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3
4
BA
BC
=
27
2
.求
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(2)邊AC的長.

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a
x
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