Question

20．已知直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），將曲線C上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來的一半，得到曲線C₁，直線l與曲線C₁交于點(diǎn)A、B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求曲線C₁的直角坐標(biāo)方程；
（2）求△OAB的面積．

Answer 1

分析 （1）首先將曲線C的參數(shù)方程化為普通方程，然后，根據(jù)曲線C₁與曲線C的關(guān)系求解即可；
（2）聯(lián)立直線方程和曲線方程，利用弦長(zhǎng)公式求解|AB|然后，再利用點(diǎn)到直線的距離求解其AB邊上的高，最后，確定其面積．

解答 解：（1）根據(jù)直線l：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}t-\sqrt{2}}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t為參數(shù)），
消去t，整理得
x-y+$\sqrt{2}$=0，
故直線l的普通方程為：x-y+$\sqrt{2}$=0，
根據(jù)曲線C：$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosθ}\\{y=2sinθ}\end{array}\right.$（θ為參數(shù)），得
x²+y²=4，
將曲線C上各點(diǎn)的縱坐標(biāo)都?jí)嚎s為原來的一半，得
x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
∴曲線C₁的直角坐標(biāo)方程：x²+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，
（2）聯(lián)立方程組
$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\sqrt{2}}\\{4{x}^{2}+{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，
得5x²+2$\sqrt{2}$x-2=0，
∴x₁x₂=-$\frac{2}{5}$，x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{2}}{5}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+1}\sqrt{（-\frac{2\sqrt{2}}{5}）^{2}-4×（-\frac{2}{5}）}$=$\frac{4\sqrt{6}}{5}$，
點(diǎn)O到直線AB的距離為d=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}=1$，
∴S_△AOB=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{4\sqrt{6}}{5}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題重點(diǎn)考查了曲線的參數(shù)方程和普通方程的互化、直線與橢圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)公式、點(diǎn)到直線的距離等知識(shí)．