Question

11．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c．已知acosC+ccosA=2bcosA．
（1）求角A的值；
（2）求sinB+sinC的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)化簡(jiǎn)acosC+ccosA=2bcosA，結(jié)合三角形的內(nèi)角和，求解A即可．
（2）轉(zhuǎn)化sinB+sinC為B的正弦函數(shù)，條公交的范圍，推出相位的范圍，然后求解函數(shù)的最值．

解答 解：（1）因?yàn)閍cosC+ccosA=2bcosA，所以sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosA，
即sin（A+C）=2sinBcosA．
因?yàn)锳+B+C=π，所以sin（A+C）=sinB．
從而sinB=2sinBcosA．…（4分）
因?yàn)閟inB≠0，所以cosA=$\frac{1}{2}$．因?yàn)?＜A＜π，所以A=$\frac{π}{3}$．…（7分）
（2）sinB+sinC=sinB+sin（$\frac{2π}{3}$-B）=sinB+sin$\frac{2π}{3}$cosB-cos$\frac{2π}{3}$sinB
=$\frac{3}{2}$sinB+$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosB=$\sqrt{3}$sin（B+$\frac{π}{6}$）．…（11分）
因?yàn)?＜B＜$\frac{2π}{3}$，所以$\frac{π}{6}$＜B+$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$．
所以sinB+sinC的取值范圍為（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查正弦定理以及兩角和與差的三角函數(shù)，三角形的解法，考查計(jì)算能力．