Question

1．已知函數(shù)$f（x）=Acos（x+\frac{π}{6}）$，x∈R，且$f（\frac{π}{12}）=\sqrt{2}$．
（Ⅰ）求A的值；
（Ⅱ）設(shè)α，β∈[0，$\frac{π}{2}$]，$f（α+\frac{π}{3}）$=-$\frac{24}{13}$，$f（β-\frac{π}{6}）=\frac{8}{5}$，求cos（α+β）的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由$f（\frac{π}{12}）=\sqrt{2}$代入計(jì)算，利用特殊角的三角函數(shù)值即可計(jì)算得解．
（Ⅱ）由$f（α+\frac{π}{3}）$=-$\frac{24}{13}$，利用誘導(dǎo)公式可求sin α=$\frac{12}{13}$，又α∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求
cos α，由$f（β-\frac{π}{6}）$=$\frac{8}{5}$，得$cosβ=\frac{4}{5}$，結(jié)合范圍β∈[0，$\frac{π}{2}$]，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求$sinβ=\frac{3}{5}$，
利用兩角和的余弦函數(shù)公式即可計(jì)算得解．

解答 （本小題滿分12分）
解：（Ⅰ）因?yàn)?f（\frac{π}{12}）=Acos（\frac{π}{12}+\frac{π}{6}）=Acos\frac{π}{4}=\sqrt{2}$，
所以A=2．…（4分）
（Ⅱ）由$f（α+\frac{π}{3}）$=2cos（α+$\frac{π}{3}$+$\frac{π}{6}$）=2cos（α+$\frac{π}{2}$）=-2sin α=-$\frac{24}{13}$，得sin α=$\frac{12}{13}$，
又α∈[0，$\frac{π}{2}$]，
所以cos α=$\frac{5}{13}$．…（8分）
由$f（β-\frac{π}{6}）$=2cos（β-$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{6}$）=2cos β=$\frac{8}{5}$，得$cosβ=\frac{4}{5}$，
又β∈[0，$\frac{π}{2}$]，
所以$sinβ=\frac{3}{5}$．…（10分）
所以cos（α+β）=cosαcos β-sinαsinβ=$\frac{5}{13}$×$\frac{4}{5}$-$\frac{12}{13}$×$\frac{3}{5}$=-$\frac{16}{65}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了特殊角的三角函數(shù)值，誘導(dǎo)公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，兩角和的余弦函數(shù)公式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．