Question

10．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長都是$\sqrt{2}$，且頂點(diǎn)A₁在底面ABC上的射影O為△ABC的中心，則三棱錐A₁-ABC的體積為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 由題意可知，O為底面正三角形的重心，由重心的性質(zhì)求得OA，進(jìn)一步求出三棱錐的高，代入體積公式得答案．

解答 解：如圖，

由題意可知，底面三角形ABC為正三角形，
由O為△ABC的中心，可知O為△ABC的外心，
則O為底面高的$\frac{2}{3}$，
∵底面三角形的邊長為$\sqrt{2}$，
∴底面三角形的高為$\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$，
∴OA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
在Rt△A₁AO中，由${A}_{1}A=\sqrt{2}，OA=\frac{\sqrt{6}}{3}$，得$O{A}_{1}=\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}-（\frac{\sqrt{6}}{3}）^{2}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴三棱錐A₁-ABC的體積為$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\frac{\sqrt{6}}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查錐體體積的求法，關(guān)鍵是掌握三角形重心的性質(zhì)，是中檔題．