Question

5．設(shè)定義在R上的函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{2，x=0}\\{{log}_{3}|x|，x≠0}\end{array}\right.$ 若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰好有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，則bc=-16．

Answer 1

分析 利用換元法，設(shè)t=f（x），作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，將條件轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)根的條件進(jìn)行求解即可．

解答 解：設(shè)t=f（x），作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
則當(dāng)t=3時(shí)，t=f（x）有3個(gè)不同的根，
當(dāng)t≠3時(shí)，t=f（x）有2個(gè)不同的根，
若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰好有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，
則等價(jià)t²+bt+c=0恰好有2個(gè)相同的實(shí)數(shù)解，且t=2，
即$\left\{\begin{array}{l}{4+2b+c=0}\\{△=^{2}-4c=0}\end{array}\right.$，得b=-4，c=4，
即bc=-16，
故答案為：-16．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，利用換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程，根據(jù)根與判別式△的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．