Question

3．如圖，已知長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中AB=BC=2，AA₁=1，點E，F(xiàn)分別是A₁B₁，B₁C₁的中點，點O是AB與BD的交點．
（1）證明：OB₁⊥平面BEF；
（2）求平面BEF與平面OFB所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）建立空間坐標系，利用直線垂直和向量數(shù)量積之間的關(guān)系，結(jié)合線面垂直的判定定理進行證明即可．
（2）求出平面的法向量，利用向量法進行求解即可．

解答 （1）證明：建立以D為坐標原點，DA，DC，DD₁分別為x，y，z軸的空間直角坐標系如圖：
∵AB=BC=2，AA₁=1，點E，F(xiàn)分別是A₁B₁，B₁C₁的中點，點O是AB與BD的交點．
∴O（1，1，0），B₁（2，2，1），A₁（2，0，1），C₁（1，2，1），
C（0，2，0），E（2，1，1），F(xiàn)（1，2，1），
則$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=（1，1，1），$\overrightarrow{EF}$=（-1，1，0），$\overrightarrow{BF}$=（-1，0，1），
則$\overrightarrow{O{B}_{1}}$•$\overrightarrow{EF}$=（1，1，1）•（-1，1，0）=-1+1=0，
則$\overrightarrow{O{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{EF}$，OB₁⊥EF，
則$\overrightarrow{O{B}_{1}}$•$\overrightarrow{BF}$=（1，1，1）•（-1，0，1）=-1+1=0，
則$\overrightarrow{O{B}_{1}}$⊥$\overrightarrow{BF}$，OB₁⊥BF，
∵EF∩BF=F，
∴OB₁⊥平面BEF；
（2）∵OB₁⊥平面BEF，
∴$\overrightarrow{O{B}_{1}}$=（1，1，1），是平面BEF的一個法向量，
設(shè)OFB的法向量為$\overrightarrow{m}$=（x，y，z），
則$\overrightarrow{OB}$=（1，1，0），$\overrightarrow{BF}$=（-1，0，1），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{OB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BF}=0}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{x+y=0}\\{-x+z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，則y=-1，z=1，
則$\overrightarrow{m}$=（1，-1，1），
則cos＜$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{O{B}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{O{B}_{1}}}{|\overrightarrow{m}||O{B}_{1}|}$=$\frac{1-1+1}{\sqrt{3}•\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$
即平面BEF與平面OFB所成銳二面角的余弦值是$\frac{1}{3}$．

點評 本題主要考查線面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐標系，利用向量法證明直線垂直和求二面角是解決本題的關(guān)鍵．