Question

4．已知f（log_ax）=log${\;}_{a}^{2}$x-alog_ax²+1（a＞0且a≠1）．
（1）求y=f（x）的解析式及其定義域；
（2）若函數y=f（x）-a在（0，1）內有且只有一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）令log_ax=t，換元可得；
（2）令g（x）=x²-2ax+1-a，問題等價于g（0）g（1）＜0或$\left\{\begin{array}{l}{0＜-\frac{-2a}{2}＜1}\\{△=4{a}^{2}-4（1-a）=0}\end{array}\right.$，解不等式組可得a的范圍．

解答 解：（1）令log_ax=t，換元可得f（t）=t²-2at+1，
∴y=f（x）的解析式為f（x）=x²-2ax+1，定義域為R；
（2）∵函數y=x²-2ax+1-a在（0，1）內有且只有一個零點，
令g（x）=x²-2ax+1-a，則g（0）g（1）＜0或$\left\{\begin{array}{l}{0＜-\frac{-2a}{2}＜1}\\{△=4{a}^{2}-4（1-a）=0}\end{array}\right.$，
解得a=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\frac{2}{3}$＜a＜1

點評 本題考查對數函數的圖象和性質，涉及函數零點的判定，屬基礎題．