Question

14．已知函數(shù)f（x）=log_a（3+2x），g（x）=log_a（3-2x）（a＞0，且a≠1）．
（Ⅰ）求函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的定義域；
（Ⅱ）判斷函數(shù)F（x）=f（x）-g（x）的奇偶性，并予以證明；
（Ⅲ）求使得f（x）-g（x）＞0的x的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）解$\left\{\begin{array}{l}{3+2x＞0}\\{3-2x＞0}\end{array}\right.$可解函數(shù)F（x）的定義域；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，由奇函數(shù)的定義可證；
（Ⅲ）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為log_a（3+2x）＞log_a（3-2x），針對(duì)a結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性分類討論可得．

解答 解：（Ⅰ）F（x）=f（x）-g（x）=log_a（3+2x）-log_a（3-2x），
由$\left\{\begin{array}{l}{3+2x＞0}\\{3-2x＞0}\end{array}\right.$，可解得：$-\frac{3}{2}＜x＜\frac{3}{2}$，
∴函數(shù)F（x）的定義域?yàn)?\left\{{x|-\frac{3}{2}＜x＜\frac{3}{2}}\right\}$；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知函數(shù)F（x）的定義域?yàn)?\left\{{x|-\frac{3}{2}＜x＜\frac{3}{2}}\right\}$關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
且F（-x）=f（-x）-g（-x）=log_a（3-2x）-log_a（3+2x）=-F（x）
∴函數(shù)F（x）為奇函數(shù)；
（Ⅲ）∵f（x）-g（x）＞0，∴l(xiāng)og_a（3+2x）-log_a（3-2x）＞0，
∴l(xiāng)og_a（3+2x）＞log_a（3-2x），分類討論可得：
①當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由3+2x＜3-2x結(jié)合定義域可解得$-\frac{3}{2}＜x＜0$；
②當(dāng)a＞1時(shí)，由3+2x＞3-2x結(jié)合定義域解得$0＜x＜\frac{3}{2}$．
綜上：當(dāng)0＜a＜1時(shí)，不等式的解集為$\left\{{x|-\frac{3}{2}＜x＜0}\right\}$；
當(dāng)a＞1時(shí)，不等式的解集為$\left\{{x|0＜x＜\frac{3}{2}}\right\}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，涉及分類討論的思想，屬基礎(chǔ)題．