Question

13．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若c=$\sqrt{7}$，sinB=3sinA．
（1）若C=$\frac{π}{3}$，求a，b的值；
（2）若cosC=$\frac{1}{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由已知等式及正弦定理可得b=3a，由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，聯(lián)立即可解得a，b的值．
（2）先求$sinC=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，又b=3a，由余弦定理可得$c=2\sqrt{2}a$，可求a，b的值，利用三角形面積公式即可求值得解．

解答 （本小題滿(mǎn)分13分）
解：（1）$C=\frac{π}{3}$，由正弦定理知sinB=3sinA即b=3a，…（4分）
當(dāng)$c=\sqrt{7}$時(shí)，由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC，即7=a²+9a²-3a²，
解得a=1，b=3．…（7分）
（2）由$cosC=\frac{1}{3}$得$sinC=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$，又b=3a，
由余弦定理可得c²=a²+b²-2abcosC=a²+9a²-2a²=8a²，即$c=2\sqrt{2}a$．…（9分）
因?yàn)?c=\sqrt{7}$，所以$a=\frac{{\sqrt{14}}}{4}，b=\frac{{3\sqrt{14}}}{4}$，…（12分）
因此${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=\frac{1}{2}×\frac{{\sqrt{14}}}{4}×\frac{{3\sqrt{14}}}{4}×\frac{{2\sqrt{2}}}{3}=\frac{{7\sqrt{2}}}{8}$．…（13分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，三角形面積公式，余弦定理，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．