Question

如圖，

拋物線C₁：x²＝4y，C₂：x²＝－2py(p＞0)．點(diǎn)M(x₀，y₀)在拋物線C₂上，過(guò)M作C₁的切線，切點(diǎn)為A，B(M為原點(diǎn)O時(shí)，A，B重合于O)．當(dāng)x₀＝1－時(shí)，切線MA的斜率為－.

(1)求p的值；

(2)當(dāng)M在C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A，B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O)．

Answer 1

解析：(1)因?yàn)閽佄锞�C₁：x²＝4y上任意一點(diǎn)(x，y)的切線斜率為y′＝，且切線MA的斜率為－，所以A點(diǎn)坐標(biāo)為，故切線MA的方程為y＝－(x＋1)＋.

因?yàn)辄c(diǎn)M(1－，y₀)在切線MA及拋物線C₂上，于是

y₀＝－(2－)＋＝－，①

y₀＝－.②

由①②得p＝2.

(2)設(shè)N(x，y)，A，x₁≠x₂，

由N為線段AB中點(diǎn)知

x＝，③

y＝.④

切線MA、MB的方程為

y＝(x－x₁)＋，⑤

y＝(x－x₂)＋.⑥

由⑤⑥得MA，MB的交點(diǎn)M(x₀，y₀)的坐標(biāo)為

x₀＝，y₀＝.

因?yàn)辄c(diǎn)M(x₀，y₀)在C₂上，即x＝－4y₀，

所以x₁x₂＝－.⑦

由③④⑦得x²＝y，x≠0.

當(dāng)x₁＝x₂時(shí)，A，B重合于原點(diǎn)O，AB中點(diǎn)N為O，坐標(biāo)滿足x²＝y.

因此AB中點(diǎn)N的軌跡方程為x²＝y.