Question

15．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，對(duì)任意實(shí)數(shù)m、n，均有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且f（$\frac{1}{2}$）=2，當(dāng)x＞-$\frac{1}{2}$時(shí)有f（x）＞0
（1）求f（-$\frac{1}{2}$）的值；
（2）判斷f（x）在R上的單調(diào)性，并加以證明；
（3）解關(guān)于x的不等式：1+f（x²+1）≤f（1）+f（2|x|）

Answer 1

分析 （1）利用已知條件通過賦值法求解即可．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義判斷證明即可．
（3）利用已知條件化簡(jiǎn)表達(dá)式為已知條件的形式，通過函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)化簡(jiǎn)求解即可．

解答 解：（1）令m=n=0得f（0）=1，令$m=\frac{1}{2}，n=-\frac{1}{2}$，則$f（0）=f（-\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{2}）-1$，
得$f（-\frac{1}{2}）=0$，
（2）設(shè)x₂＞x₁，則$f（{x_2}）-f（{x_1}）=f（{x_2}-{x_1}）-1=f[（{x_2}-{x_1}-\frac{1}{2}）+\frac{1}{2}]-1$=$[f（{x_2}-{x_1}-\frac{1}{2}）+f（\frac{1}{2}）-1]-1=f（{x_2}-{x_1}-\frac{1}{2}）$，
因?yàn)閤₂＞x₁，所以${x_2}-{x_1}-\frac{1}{2}＞0$，由已知當(dāng)$x＞-\frac{1}{2}$時(shí)有f（x）＞0，
所以$f（{x_2}-{x_1}-\frac{1}{2}）＞0$，
所以f（x₂）＞f（x₁）所以f（x）在R上單調(diào)遞增．
（3）原不等式等價(jià)于f（x²+1）≤f（1）+f（2|x|）-1=f（1+2|x|），
由（2）知f（x）在R上單調(diào)遞增．
所以x²+1≤1+2|x|?|x|²+1≤1+2|x|，
解得0≤|x|≤2即-2≤x≤2，
所以原不等式解集為{x|-2≤x≤2}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)在求法，單調(diào)性的判斷與證明，考查計(jì)算能力．