Question

已知函數(shù)f（x）=ln

1+x

1-x

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的定義域并判斷函數(shù)f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求使f（x）＜0的x的取值范圍．

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（I）求函數(shù)f（x）的定義域，可令

1+x

1-x

＞0，解出此不等式的解集即可得到所求函數(shù)的定義域；判斷函數(shù)的奇偶性，要用定義法，由函數(shù)解析式研究f（-x）與f（x）的關(guān)系，即可證明出函數(shù)的性質(zhì)；
（II）根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，f（x）＜0可轉(zhuǎn)化為0＜

1+x

1-x

＜1，解不等式可得x的取值范圍．

解答： 解：（I）由題意令

1+x

1-x

＞0，
解得-1＜x＜1，
所以函數(shù)的定義域是（-1，1）
此函數(shù)是一個奇函數(shù)，證明如下：
∵函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，且f（-x）=ln

1-x

1+x

=-ln

1+x

1-x

=-f（x），
故函數(shù)是奇函數(shù)；
（Ⅱ）若使f（x）＜0，
則0＜

1+x

1-x

＜1
解得-1＜x＜0，
故使f（x）＜0的x的取值范圍為（-1，0）

點評：本題考查了求函數(shù)的定義域，對數(shù)的運算法則，判斷函數(shù)的奇偶性，正確解答本題，關(guān)鍵是熟練記憶函數(shù)的性質(zhì)及這些性質(zhì)判斷的方法．