Question

15．已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
（1）求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式f（x）＞a+2x-x²在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）把要解的不等式等價轉(zhuǎn)化為與之等價的三個不等式組，求出每個不等式組的解集，再取并集，即得所求．
（2）由題意可得|x-1|+|x+1|-2x+x²＞a 恒成立，令g（x）=|x-1|+|x+1|+x² -2x，依據(jù)單調(diào)性求得g（x）的最小值，可得a的范圍．

解答 解：（1）原不等式等價于$\left\{\begin{array}{l}{x＜-1}\\{-2x≥3}\end{array}\right.$①，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤x≤1}\\{2≥3}\end{array}\right.$ ②，或 $\left\{\begin{array}{l}{x＞1}\\{2x≥3}\end{array}\right.$．
解①x≤-$\frac{3}{2}$求得，解求得 x∈∅，解求得 x≥$\frac{3}{2}$，
∴不等式的解集為{x|x≤-$\frac{3}{2}$，或 x≥$\frac{3}{2}$ }．
（2）f（x）＞a+2x-x²在R上恒成立，即|x-1|+|x+1|-2x+x²＞a  恒成立，
令g（x）=|x-1|+|x+1|+x² -2x=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x，x＜-1}\\{{x}^{2}-2x+2，-1≤x≤1}\\{{x}^{2}，x＞1}\end{array}\right.$，
當(dāng)x∈（-∞，1]時，g（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈[1，+∞）時，g（x）單調(diào)遞增，…（7分）
所以當(dāng)x=1時，g（x）的最小值為1．                                     
由題意可得1＞a，即a＜1，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，1）．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．