Question

15．如圖所示是函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一段圖象．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知在△ABC中，A為銳角，B＞C，f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，若$\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=λsinA•$\overrightarrow{BC}$，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)的圖象的頂點坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點法作圖求出φ的值，可得函數(shù)的解析式．
（2）由f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，求得sinA的值，再根據(jù)-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BC}$以及 $\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=λsinA•$\overrightarrow{BC}$，求得λ=$\frac{1}{sinA}$，從而得出結(jié)論．

解答 解：（1）由函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜$\frac{π}{2}$）的一段圖象，
可得 $\frac{1}{2}$T=$\frac{π}{ω}$=$\frac{5π}{12}$-（-$\frac{π}{12}$），∴ω=2．
再根據(jù)五點法作圖可得2×$\frac{5π}{12}$+φ=π，求得φ=$\frac{π}{6}$，∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）．
（2）△ABC中，A為銳角，B＞C，f（$\frac{A}{2}$-$\frac{π}{12}$）=2sinA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故cosA=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
∵-$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{BC}$，故由 $\frac{cosB}{sinC}$•$\overrightarrow{AB}$+$\frac{cosC}{sinB}$•$\overrightarrow{AC}$=λsinA•$\overrightarrow{BC}$，可得$\frac{cosB}{sinC}$=-1，$\frac{cosC}{sinB}$=1，λsinA=1．
∴cosB=-sinC，cosC=sinB，再結(jié)合B＞C，可得cosB＜0，cosC＞0，
∴λ=$\frac{1}{sinA}$=$\sqrt{3}$．

點評 本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，兩個向量的加減法及其幾何意義，屬于中檔題．