Question

20．已知函數(shù)f（x）=e^x-ax+a，其中a∈R，e為自然數(shù)的底數(shù)
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間，并寫出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間
（2）設(shè)b∈R，若函數(shù)f（x）≥b對(duì)任意x∈R都成立，則當(dāng)a≥0時(shí)，求ab的最大值．

Answer 1

分析 （1）通過函數(shù)f（x），得f′（x），然后結(jié)合f′（x）與0的關(guān)系對(duì)a的正負(fù)進(jìn)行討論即可；
（2）當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)ab=0； 當(dāng)a＞0時(shí)，由題結(jié)合（1）得ab≤2a²-a²lna，設(shè)g（a）=$2{a}^{2}-{a}^{2}lna\$  （a＞0），問題轉(zhuǎn)化為求g（a）的最大值，利用導(dǎo)函數(shù)即可．

解答 解：（1）根據(jù)題意，得f′（x）=e^x-a，下面對(duì)a進(jìn)行討論：
①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞增；
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f′（x）=e^x-a=0得x=lna，
∴x∈（-∞，lna）時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，+∞）；
當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（lna，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，lna）． 
（2）當(dāng)a=0時(shí)，此時(shí)ab=0； 
當(dāng)a＞0時(shí)，由函數(shù)f（x）≥b對(duì)任意x∈R都成立，得b≤f_min（x），
∵f_min（x）=f（lna）=2a-alna，∴b≤2a-alna，∴ab≤2a²-a²lna，
設(shè)g（a）=2a²-a²lna（a＞0），∴g′（a）=4a-（2alna+a）=3a-2alna，
由于a＞0，令g′（a）=0，得$lna=\frac{3}{2}$，從而$a={e}^{\frac{3}{2}}$，
當(dāng)$a∈（0，{e}^{\frac{3}{2}}）$時(shí)，g′（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增；
$a∈（{e}^{\frac{3}{2}}，+∞）$時(shí)，g′（a）＜0，g（a）單調(diào)遞減．
∴${g}_{max}（a）=\frac{{e}^{3}}{2}$，即$a={e}^{\frac{3}{2}}$，$b=\frac{1}{2}{e}^{\frac{3}{2}}$時(shí)，ab的最大值為$\frac{{e}^{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的單調(diào)性及最值，利用導(dǎo)函數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵，注意解題方法的積累，屬于中檔題．