Question

6．某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品．已知每生產(chǎn)1000千克甲產(chǎn)品需要原料3噸，勞動力成本5000元；每生產(chǎn)1000千克乙產(chǎn)品需要原料2噸，勞動力成本10000元．又知生產(chǎn)出甲產(chǎn)品1000千克可獲利6000元，生產(chǎn)出乙產(chǎn)品1000千克可獲利8000元．現(xiàn)在該企業(yè)由于受原料和資金條件限制，只能提供30噸原料和11萬元資金，在這種條件下應生產(chǎn)甲、乙產(chǎn)品各多少千克才能使總利潤最大？

Answer 1

分析 先設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，列出約束條件，再根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=0.6x+0.8y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=0.6x+0.8y過可行域內(nèi)的點時，從而得到z值即可．

解答 解：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸，乙產(chǎn)品y噸，
則x，y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}3x+2y≤30\\ 0.5x+y≤11\\ x≥0\\ y≥0\end{array}\right.$…（4分）
生產(chǎn)利潤為z=0.6x+0.8y（萬元）．                    …（5分）
畫出可行域，如圖陰影部分（包含邊界），
顯然z=0.6x+0.8y在點A處取得最大值，
…（9分）
由方程組$\left\{\begin{array}{l}3x+2y=30\\ 0.5x+y=11\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=4\\ y=9\end{array}\right.$…（11分）
則z_max=0.6×4+0.8×9=9.6． …（12分）
故應生產(chǎn)甲產(chǎn)品4000千克，乙產(chǎn)品9000千克才能使總利潤最大．…（13分）

點評 在解決線性規(guī)劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件⇒②由約束條件畫出可行域⇒③分析目標函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系⇒④使用平移直線法求出最優(yōu)解⇒⑤還原到現(xiàn)實問題中．