【題目】已知橢圓(),點為橢圓短軸的上端點,為橢圓上異于點的任一點,若點到點距離的最大值僅在點為短軸的另一端點時取到,則稱此橢圓為“圓橢圓”,已知.
(1)若,判斷橢圓是否為“圓橢圓”;
(2)若橢圓是“圓橢圓”,求的取值范圍;
(3)若橢圓是“圓橢圓”,且取最大值,為關(guān)于原點的對稱點,也異于點,直線、分別與軸交于、兩點,試問以線段為直徑的圓是否過定點?證明你的結(jié)論.
【答案】(1)是;(2);(3)是,證明見解析.
【解析】
(1)直接判斷即可,
(2)由(1)的方法判斷,可得y=﹣2時,函數(shù)值達到最大,分別討論二次項系數(shù)的正負(fù),是否滿足條件得出a的取值范圍;
(3)設(shè)參數(shù)方程滿足以MN為直徑的圓過原點,使數(shù)量積為零得出定點(0,2).
(1)由題意得橢圓方程:1,所以A(0,2),
設(shè)P(x,y)則|PA|2=x2++(y﹣2)2=5(1)+(y﹣2)2y2﹣4y+9,y∈[﹣2,2],
二次函數(shù)開口向下,對稱軸y=﹣8,y∈[﹣2,2]上函數(shù)單調(diào)遞減,
所以y=﹣2時,函數(shù)值最大,此時P為橢圓的短軸的另一個端點,
∴橢圓是“圓橢圓”;
(2)由(1)的方法:橢圓方程:1,A(0,2)設(shè)P(x,y),則|PA|2=x2+(y﹣2)2=a2(1)+(y﹣2)2=(1)y2﹣4y+4+a2,y∈[﹣2,2],由題意得,
當(dāng)且僅當(dāng)y=﹣2時,函數(shù)值達到最大,
討論:①當(dāng)開口向上時,滿足:﹣2<a<2(與矛盾,舍);
②當(dāng)開口向下時,滿足2<a≤2,
綜上a的范圍:(2,2].
(3)a=2,橢圓方程:1,由題意:設(shè)P(2cosθ,sinθ),θ∈[0,2π],且,則Q(﹣2cosθ,﹣sinθ),則直線AP:yx+2M(,0)
則直線AQ:y2N(,0),
MN為直徑的圓過定點C,由對稱性知C在y軸上,∴設(shè)C(0,n)則,且0,
∴,(n),∴,
所以得定點(0,2).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若存在常數(shù) k(k∈N * , k≥2)、d、t( d , t∈R),使得無窮數(shù)列 {a n }滿足a n +1,則稱數(shù)列{an }為“段差比數(shù)列”,其中常數(shù) k、d、t 分別叫做段長、段差、段比.設(shè)數(shù)列 {bn }為“段差比數(shù)列”.
(1)已知 {bn }的首項、段長、段差、段比分別為1、 2 、 d 、 t .若 {bn }是等比數(shù)列,求 d 、 t 的值;
(2)已知 {bn }的首項、段長、段差、段比分別為1、3 、3 、1,其前 3n 項和為 S3n .若不等式 S3n≤ λ 3n1對 n ∈ N *恒成立,求實數(shù) λ 的取值范圍;
(3)是否存在首項為 b,段差為 d(d ≠ 0 )的“段差比數(shù)列” {bn },對任意正整數(shù) n 都有 bn+6 = bn ,若存在, 寫出所有滿足條件的 {bn }的段長 k 和段比 t 組成的有序數(shù)組 (k, t );若不存在,說明理由.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,將曲線(為參數(shù))上任意一點經(jīng)過伸縮變換后得到曲線的圖形.以坐標(biāo)原點為極點,x軸的非負(fù)半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系,已知直線.
(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程;
(2)點P為曲線上的任意一點,求點P到直線的距離的最大值及取得最大值時點P的坐標(biāo).
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【題目】數(shù)字不重復(fù),且個位數(shù)字與千位數(shù)字之差的絕對值等于2的四位數(shù)的個數(shù)為________.
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【題目】已知圓,過直線上第一象限內(nèi)的一動點作圓的兩條切線,切點分別為,過兩點的直線與坐標(biāo)軸分別交于兩點,則面積的最小值為( )
A.B.C.D.
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【題目】已知橢圓 (a>b>0)長軸的兩頂點為A、B,左右焦點分別為F1、F2,焦距為2c且a=2c,過F1且垂直于x軸的直線被橢圓C截得的線段長為3.
(1)求橢圓C的方程;
(2)在雙曲線 上取點Q(異于頂點),直線OQ與橢圓C交于點P,若直線AP、BP、AQ、BQ的斜率分別為k1、k2、k3、k4,試證明:k1+k2+k3+k4為定值;
(3)在橢圓C外的拋物線K:y2=4x上取一點E,若EF1、EF2的斜率分別為,求的取值范圍.
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