Question

2．已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n^2}$a_n²．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值；
（Ⅱ）證明：a_n＜n（n∈N^*）；
（Ⅲ）當(dāng)n≥3（n∈N^*）時(shí)，證明：a_n＞$\frac{6n}{5n+6}$．

Answer 1

分析 （I）由a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n^2}$a_n²，分別取n=1，2，即可得出．
（II）利用數(shù)學(xué)歸納法與不等式的性質(zhì)即可證明．
（III）利用數(shù)學(xué)歸納法證明．（1）當(dāng)n=3時(shí)，直接驗(yàn)證即可．（2）假設(shè)當(dāng)n=k≥3（k∈N^*）時(shí)，a_k$＞\frac{6k}{5k+6}$．則當(dāng)n=k+1時(shí)，利用已知及其歸納假設(shè)可得a_k+1=a_k+$\frac{1}{{k}^{2}}{a}_{k}^{2}$＞$\frac{6×（5{k}^{2}+6k+6）}{（5k+6）^{2}}$，利用“作差法”只要證明$\frac{6×（5{k}^{2}+6k+6）}{（5k+6）^{2}}$＞$\frac{6（k+1）}{5（k+1）+6}$，即可．

解答 （I）解：∵a₁=$\frac{1}{2}$，a_n+1=a_n+$\frac{1}{n^2}$a_n²，
∴a₂=${a}_{1}+{a}_{1}^{2}$=$\frac{3}{4}$，a₃=${a}_{2}+\frac{1}{4}{a}_{2}^{2}$=$\frac{57}{64}$．
（II）證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）當(dāng)n=1時(shí)，a₁=$\frac{1}{2}$＜1成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k∈N^*時(shí)，不等式a_k＜k成立．
則a_k+1=a_k+$\frac{1}{{k}^{2}}{a}_{k}^{2}$＜k+$\frac{1}{{k}^{2}}×{k}^{2}$=k+1，
因此當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式a_k+1＜k+1成立．
綜上可得：?n∈N^*，a_n＜n．
（III）證明：利用數(shù)學(xué)歸納法證明．
（1）當(dāng)n=3時(shí)，a₃=$\frac{57}{64}$，$\frac{6×3}{5×3+6}$=$\frac{6}{7}$，∵$\frac{57}{64}÷\frac{6}{7}$=$\frac{203}{128}$＞1，∴${a}_{3}＞\frac{6×3}{5×3+6}$，此時(shí)不等式成立．
（2）假設(shè)當(dāng)n=k≥3（k∈N^*）時(shí)，a_k$＞\frac{6k}{5k+6}$．
則當(dāng)n=k+1時(shí)，則a_k+1=a_k+$\frac{1}{{k}^{2}}{a}_{k}^{2}$＞$\frac{6k}{5k+6}$+$\frac{1}{{k}^{2}}$×$（\frac{6k}{5k+6}）^{2}$=$\frac{6×（5{k}^{2}+6k+6）}{（5k+6）^{2}}$，
∵（5k+11）（5k²+6k+6）-（5k+6）²（k+1）=30＞0，
∴$\frac{6×（5{k}^{2}+6k+6）}{（5k+6）^{2}}$＞$\frac{6（k+1）}{5（k+1）+6}$，
∴a_k+1＞$\frac{6（k+1）}{5（k+1）+6}$，
即當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式成立．
綜上可得：當(dāng)n≥3（n∈N^*）時(shí)，a_n＞$\frac{6n}{5n+6}$．

點(diǎn)評 本題考查了數(shù)列遞推式的應(yīng)用、數(shù)學(xué)歸納法、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．