Question

10．過(guò)橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)F₁，作x軸的垂線交橢圓于點(diǎn)P，F(xiàn)₂為右焦點(diǎn)，若∠F₁PF₂=60°，則橢圓的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 把x=-c代入橢圓方程求得P的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)∠F₁PF₂=60°推斷出$\frac{2c}{\frac{^{2}}{a}}$=$\sqrt{3}$整理得$\sqrt{3}$e²+2e-$\sqrt{3}$=0，進(jìn)而求得橢圓的離心率e．

解答 解：由題意知點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-c，$\frac{^{2}}{a}$）或（-c，-$\frac{^{2}}{a}$），
∵∠F₁PF₂=60°，
∴$\frac{2c}{\frac{^{2}}{a}}$=$\sqrt{3}$，
即2ac=$\sqrt{3}$b²=$\sqrt{3}$（a²-c²）．
∴$\sqrt{3}$e²+2e-$\sqrt{3}$=0，
∴e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$或e=-$\sqrt{3}$（舍去）．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了考生綜合運(yùn)用橢圓的基礎(chǔ)知識(shí)和分析推理的能力，屬中檔題．