Question

【題目】已知 為坐標(biāo)原點(diǎn)， ， 是橢圓 上的點(diǎn)，且 ，設(shè)動(dòng)點(diǎn) 滿足 ．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn) 的軌跡 的方程；
（Ⅱ）若直線 與曲線 交于 兩點(diǎn)，求三角形 面積的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)點(diǎn) ， ， ，
則由 ，得 ，
即 ， ，因?yàn)辄c(diǎn) 在橢圓 上，
所以 ， ，
故

，
因?yàn)? ，
所以動(dòng)點(diǎn) 的軌跡 的方程為 ．
（Ⅱ）將曲線 與直線 聯(lián)立： ，消 得： ，
∵直線 與曲線 交于 兩點(diǎn)，設(shè) ， ，
∴ ，又∵ ，得 ，
， ，
∴ ，
∵點(diǎn) 到直線 的距離 ，
∴
，當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立，
∴三角形 面積的最大值為
【解析】(1)首先根據(jù)向量的坐標(biāo)公式計(jì)算出x = x1 + 3 x 2 ， y = y1 + 3 y2的關(guān)系式，代入到橢圓的方程整理可得x2 + 3 y2的代數(shù)式再結(jié)合直線的斜率關(guān)系即可求出x1 x2 + 3 y1 y2 = 0，即可得到動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。(2)結(jié)合題意利用橢圓的定義即可求出c的值再聯(lián)立直線與橢圓的方程，消元由判別式以及韋達(dá)定理得到關(guān)于m的代數(shù)式，并把上式代入到弦長(zhǎng)公式和三角形中利用二次函數(shù)的最值即可。