Question

17．已知拋物線的方程為y²=4x，直線l過點P（-2，1），斜率為k，當k為何值時，直線l與拋物線只有一個公共點并求出直線方程．

Answer 1

分析 設直線方程為：y=k（x+2）+1，代入拋物線方程得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*），直線與拋物線只有一個公共點等價于（*）只有一個根，由此能求出結(jié)果．

解答 解：由題意可設直線方程為：y=k（x+2）+1，
代入拋物線方程整理可得k²x²+（4k²+2k-4）x+4k²+4k+1=0（*），
直線與拋物線只有一個公共點等價于（*）只有一個根，
①k=0時，y=1符合題意；
②k≠0時，△=（4k²+2k-4）²-4k²（4k²+4k+1）=0，整理，得2k²+k-1=0，
解得k=$\frac{1}{2}$或k=-1．
綜上可得，k=$\frac{1}{2}$或k=-1或k=0時，直線l與拋物線只有一個公共點，
對應的直線l的方程分別為：y=$\frac{1}{2}（x+2）+1$，y=-（x+2）+1，y=1，
即x-2y+4=0，x+y+1=0，y=1．

點評 本題考查滿足條件的直線的斜有一些及直線方程的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意直線與拋物線的位置關系的合理運用．