Question

2．已知x，y，z，a，b，c，k均為正數(shù)，且x²+y²+z²=10，a²+b²+c²=90，ax+by+cz=30，a+b+c=k（x+y+z），則k=（　�。�

• A． $\frac{1}{9}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． 3
• D． 9

Answer 1

分析 根據(jù)所給條件，利用柯西不等式求解，利用等號(hào)成立的條件即可．

解答 解：因?yàn)閤²+y²+z²=10，a²+b²+c²=90，ax+by+cz=30，
所以（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）=（ax+by+cz）²，
又（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²等號(hào)成立，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{a}{x}$=$\frac{y}$=$\frac{c}{z}$=k，
則a=kx，b=ky，c=kz，代入a²+b²+c²=90，
得k²（x²+y²+z²）=90，
于是k=3，
故選：C．

點(diǎn)評 柯西不等式的特點(diǎn)：一邊是平方和的積，而另一邊為積的和的平方，因此，當(dāng)欲證不等式的一邊視為“積和結(jié)構(gòu)”或“平方和結(jié)構(gòu)”，再結(jié)合不等式另一邊的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去嘗試構(gòu)造．