Question

設(shè)函數(shù)f（x）=ax-2-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）若f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線為x-ey-2e=0，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當(dāng)x＞0時(shí)，求證：f（x）-ax+e^x＞0．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)并求出切點(diǎn)，運(yùn)用點(diǎn)斜式方程寫出切線方程并化為一般式，對(duì)照條件求出a；
（Ⅱ）求出導(dǎo)數(shù)f'（x），對(duì)a討論，分a≤0，a＞0，分別求出單調(diào)區(qū)間，注意定義域：（0，+∞）；
（Ⅲ）運(yùn)用分析法證明：f（x）-ax+e^x＞0．首先化簡(jiǎn)左邊并構(gòu)造函數(shù)：g（x）=e^x-lnx-2（x＞0），只需要證明g（x）＞0，通過(guò)導(dǎo)數(shù)g'（x）的單調(diào)性，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理證明g'（x）在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)，設(shè)為t，由導(dǎo)函數(shù)g'（x）的單調(diào)性，得到g'（x）在（0，t）上小于0，在（t，+∞）上大于0，從而得到g（x）在x＞0上的單調(diào)性，從而得出g（x）的極小值也是最小值g（t），證明g（t）不小于0，由

1

3

＜t＜1得g（t）＞0，從而原不等式成立．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=ax-2-lnx（x＞0），
∴f'（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

，
又f（x）在點(diǎn)（e，f（e））處的切線為x-ey-2e=0，
∴f'（e）=a-

1

e

=

1

e

，故a=

2

e

；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f'（x）=a-

1

x

=

ax-1

x

（x＞0），
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上是單調(diào)減函數(shù)，
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，則x=

1

a

，
令f'（x）＜0，則0＜x＜

1

a

，f'（x）＞0，則x＞

1

a

，
∴f（x）在（0，

1

a

）上單調(diào)遞減，在（

1

a

，+∞）上單調(diào)遞增，
綜上可得：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，+∞），
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（0，

1

a

），f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（

1

a

，+∞）；
（Ⅲ）當(dāng)x＞0時(shí)，要證f（x）-ax+e^x＞0，即證e^x-lnx-2＞0，
令g（x）=e^x-lnx-2（x＞0），只需證g（x）＞0，
∵g'（x）=ex-

1

x

，由指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的單調(diào)性知，g‘（x）在（0，+∞）上遞增，
又g'（1）=e-1＞0，g'（

1

3

）=e

1

3

-3＜0，∴g'（1）•g'（

1

3

）＜0，
∴g'（x）在（

1

3

，1）內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，則g'（x）在（0，+∞）上有唯一零點(diǎn)，
設(shè)g'（x）的零點(diǎn)為t，則g'（t）=e^t-

1

t

=0，即e^t=

1

t

（

1

3

＜t＜1），
由g'（x）的單調(diào)性知：
當(dāng)x∈（0，t）時(shí)，g'（x）＜g'（t）=0，當(dāng)x∈（t，+∞）時(shí)，g'（x）＞g'（t）=0，
∴g（x）在（0，t）上為減函數(shù)，在（t，+∞）上為增函數(shù)，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，g（x）≥g（t）=e^t-lnt-2=

1

t

-ln

1

et

-2=

1

t

+t-2≥2-2=0，
又

1

3

＜t＜1，等號(hào)不成立，∴g（x）＞0，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）-ax+e^x＞0．

點(diǎn)評(píng)：本題是導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合運(yùn)用，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求曲線上某一點(diǎn)處的切線方程，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求函數(shù)的極值和最值，考查構(gòu)造函數(shù)和分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，運(yùn)用分析法證明不等式的重要方法，是一道綜合題．