Question

已知數(shù)列{a_n}中，已知a₁=1，a_n+1=

2n+2

n

a_n（n=1，2，3，…）．
（Ⅰ）證明：數(shù)列{

an

n

}是等比數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由題意a_n+1=

2n+2

n

a_n，轉(zhuǎn)化為

an+1

n+1

=2•

an

n

，問題得以證明
（Ⅱ）得到a_n的通項公式，表示出前n項的和S_n，兩邊都乘以2，相減得到S_n的通項即可．

解答： 解：（Ⅰ）∵a_n+1=

2n+2

n

a_n，
∴

an+1

n+1

=2•

an

n

，
∵

a1

1

=1，
∴數(shù)列{

an

n

}是以1為首項，以2為公比的等比數(shù)列；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=n•2^n-1，
∴S_n=1×2⁰+2×2¹+3×2²+…+（n-1）×2^n-2+n×2^n-1，
∴2S_n=1×2¹+2×2²+3×2³+…+（n-1）×2^n-1+n×2ⁿ，
∴-S_n=1+2¹+2²+…+2^n-2+2^n-1-n×2ⁿ，
∴S_n=-（1+2¹+2²+…+2^n-2+2^n-1）+n×2ⁿ=-

1×(1-2n)

1-2

+n×2ⁿ=1+（n-1）2ⁿ．

點評：本題考查學(xué)生會根據(jù)已知條件推出數(shù)列的通項公式，靈活運用數(shù)列的遞推式得到數(shù)列的前n項的和．