Question

20．今年來(lái)空氣污染是一個(gè)生活中重要的話題，PM2.5就是其中一個(gè)指標(biāo)，PM2.5指大氣總直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物，PM2.5日均值在35毫克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級(jí)；在35毫克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級(jí)；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)，某地區(qū)2014年12月1日至10日每天的PM2.5檢測(cè)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示：
（1）期間的某天小劉來(lái)此地旅游，求當(dāng)天PM2.5的日均檢測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)的概率；
（2）陶先生在此期間也有兩天經(jīng)過(guò)此地，這兩天此地PM2.5檢測(cè)數(shù)據(jù)均未超標(biāo)，請(qǐng)計(jì)算成這兩天質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)的概率；
（3）從所給10填的數(shù)據(jù)中任意抽取三天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5檢測(cè)數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （ 1）由莖葉圖知，計(jì)算恰好當(dāng)天PM2.5的日均檢測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)的概率值；
（2）計(jì)算兩天經(jīng)過(guò)此地，且此地PM2.5檢測(cè)數(shù)據(jù)均未超標(biāo)，質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)的事件的概率值；
（3）由題意得ξ的可能取值，計(jì)算對(duì)應(yīng)的概率值，寫(xiě)出ξ的分布列與期望值Eξ．

解答 解：（ 1）由莖葉圖可知：記恰好當(dāng)天PM2.5的日均檢測(cè)數(shù)據(jù)未超標(biāo)的事件為A，其概率為
P（A）=$\frac{2+4}{10}$=$\frac{3}{5}$；
（2）記兩天經(jīng)過(guò)此地，且此地PM2.5檢測(cè)數(shù)據(jù)均未超標(biāo)，質(zhì)量恰好有一天為一級(jí)的事件為B，其概率為
P（B）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$；
（3）由題意，ξ的可能取值為0，1，2，3；
可得P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{6}^{2}{•C}_{4}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{6}^{1}{•C}_{4}^{2}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{4}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$；
故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{6}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

期望為Eξ=0×$\frac{1}{6}$+1×$\frac{1}{2}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{30}$=$\frac{6}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了概率的求法以及離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的計(jì)算問(wèn)題，是綜合性題目．