Question

8．（Ⅰ）已知$|\overrightarrow a|=4，|\overrightarrow b|=2，\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，求$（\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-3\overrightarrow b）$．
（Ⅱ）已知tanθ=2，計算：$\frac{4sinθ-2cosθ}{5cosθ+3sinθ}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）運用向量的數量積的定義和性質：向量的平方即為模的平方，化簡整理，即可得到所求值；
（Ⅱ）運用同角的三角函數的基本關系式，注意運用弦化切的方法，代入計算即可得到所求值．

解答 解：（Ⅰ）$|\overrightarrow a|=4，|\overrightarrow b|=2，\overrightarrow a$與$\overrightarrow b$的夾角為120°，
可得$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow$|cos＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=4×2×（-$\frac{1}{2}$）=-4，
則$（\overrightarrow a+2\overrightarrow b）•（\overrightarrow a-3\overrightarrow b）$=$\overrightarrow{a}$²-6$\overrightarrow$²-$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=16-6×4-（-4）=-4；
（Ⅱ）由tanθ=2，可得$\frac{4sinθ-2cosθ}{5cosθ+3sinθ}$=$\frac{4tanθ-2}{5+3tanθ}$
=$\frac{4×2-2}{5+3×2}$=$\frac{6}{11}$．

點評 本題考查向量的數量積的定義和向量的性質：向量的模即為向量的平方，同時考查同角函數的基本關系式，注意運用弦化切，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎題．