Question

6．如圖，在四棱錐A-DCBE中，AC⊥BC，底面DCBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC．
（Ⅰ）求證：DE⊥平面ACD； 
（Ⅱ）若∠ABC=30°，AB=2，EB=$\sqrt{3}$，求三棱錐B-ACE的體積；
（Ⅲ）設(shè)平面ADE∩平面ABC=直線l，求證：BC∥l．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用線面垂直的判定定理證明BC⊥平面ACD，利用底面DCBE為平行四邊形，所以BC∥ED，可得DE⊥平面ACD；
（Ⅱ）證明BE⊥平面ABC，利用V_B-ACE=V_E-ABC，求三棱錐B-ACE的體積；
（Ⅲ）證明BC∥平面ADE，利用平面ADE∩平面ABC=直線l，可得BC∥l．

解答 （Ⅰ）證明：因?yàn)镈C⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以BC⊥DC．…（1分）
又因?yàn)锳C⊥BC，AC?平面ACD，CD?平面ACD，AC∩CD=C，
所以，BC⊥平面ACD．…（3分）
因?yàn)榈酌鍰CBE為平行四邊形，所以BC∥ED．
所以DE⊥平面ACD．…（5分）
（Ⅱ）解：因?yàn)榈酌鍰CBE為平行四邊形，DC⊥平面ABC，
所以BE⊥平面ABC．
所以V_B-ACE=V_E-ABC=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×\sqrt{3}×\sqrt{3}=\frac{1}{2}$．…（8分）
（Ⅲ）證明：因?yàn)榈酌鍰CBE為平行四邊形，所以BC∥ED．…（9分）
因?yàn)锽C?平面ADE，ED?平面ADE，所以BC∥平面ADE．…（10分）
因?yàn)�，平面ADE∩平面ABC=l，BC?平面ABC，所以BC∥l．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面垂直的判定，考查線面平行，三棱錐體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．