Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面為直角三角形，則棱與底面垂直，如圖所示，D是棱CC₁的中點(diǎn)，且∠ACB=90°，BC=1，AC=

3

，AA₁=

6

（Ⅰ）證明：A₁D⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C₁的余弦值．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,平面與平面垂直的判定

專題：

分析：（Ⅰ） 由已知，AA₁⊥平面ABC，∠ACB=90°，證出B₁C₁⊥AA₁C₁C，從而得B₁C₁⊥A₁D；在矩形AA₁C₁C中，利用△ACC₁～△DC₁A₁，證出A₁D⊥AC₁，由線面垂直的判定定理即可證明：A₁D⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的基礎(chǔ)上，設(shè)垂足（即為A₁D與AC₁的交點(diǎn)）為H，過A₁作AB₁的垂線，垂足為G，連GH，由三垂線定理逆定理，可證∠A₁GH為二面角A₁-AB₁-C₁的平面角，再解三角形A₁GH即可獲解．

解答： （Ⅰ）證明：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC．
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，
∴BC⊥CC₁，
∵AC∩CC₁=C，
∴BC⊥平面ACC₁A₁．
∵A₁D?平面ACC₁A₁，∴BC⊥A₁D，
而BC∥B₁C₁，則B₁C₁⊥A₁D．
在Rt△ACC₁與Rt△DC₁A₁中，

AC

CC1

=

DC1

AC1

=

2

2

，∴△ACC₁～△DC₁A₁，
∴∠AC₁C=∠DA₁C₁，
∴∠AC₁C+∠C₁DA₁=90°．即A₁D⊥AC₁．
∵B₁C₁∩AC₁=C₁，
∴A₁D⊥平面AB₁C₁；
（Ⅱ）解：如圖，設(shè)A₁D∩AC₁=H，過A₁作AB₁的垂線，垂足為G，連GH，
∵A₁D⊥平面AB₁C₁，∴AB₁⊥A₁D，∴AB₁⊥平面A₁GH，
∴∠A₁GH為二面角A₁-AB₁-C₁的平面角．
在Rt△AA₁B₁中，AA₁=

6

，A₁B₁=2，
∴AB₁=

10

，
∴由等面積，可得A₁G=

2 15

5

；
在Rt△AA₁C₁中，AA₁=

6

，A₁C₁=

3

，
∴AC₁=3，∴由等面積，可得A₁H=

2

．
∴在Rt△A₁GH中，sin∠A₁GH=

30

6

，
∴cos∠A₁GH=

6

6

，
∴二面角B-AB₁-C₁的余弦值為-

6

6

．

點(diǎn)評：本題考查二面角的計(jì)算，直線和平面垂直的性質(zhì)、判定，考查學(xué)生空間想象能力，計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力．空間問題平面化，是解決空間問題最核心的思想方法．