Question

4．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}都是等差數(shù)列，且公差相等，則a₂=（　�。�

• A． $\frac{3}{4}$
• B． 1
• C． $\frac{4}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由題目給出的條件{a_n}和{$\sqrt{{S}_{n}}$}都是等差數(shù)列，且公差相等，把$\sqrt{{S}_{2}}$與$\sqrt{{S}_{3}}$都用a₁和d表示，兩邊平方后求解a₁和d，則答案可求．

解答 解：由題意知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公差為d．
因?yàn)閿?shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和是S_n，
所以$\sqrt{{S}_{1}}$=$\sqrt{{a}_{1}}$，$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{2{a}_{1}+d}$，$\sqrt{{S}_{3}}$=$\sqrt{3{a}_{1}+3d}$．
又{$\sqrt{{S}_{n}}$}也是公差為d的等差數(shù)列，
則$\sqrt{{S}_{2}}$=$\sqrt{2{a}_{1}+d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+d，兩邊平方得：2a₁+d=a₁+2d$\sqrt{{a}_{1}}$+d²①
$\sqrt{{S}_{3}}$=$\sqrt{3{a}_{1}+3d}$=$\sqrt{{a}_{1}}$+2d，兩邊平方得：3a₁+3d=a₁+4d$\sqrt{{a}_{1}}$+4d²②
②-①得：a₁=-2d+2d$\sqrt{{a}_{1}}$+3d²③，
把③代入①得：d（2d-1）=0．
所以d=0或d=$\frac{1}{2}$．
當(dāng)d=0時(shí)，a₁=0，不合題意，
當(dāng)d=$\frac{1}{2}$時(shí)，代入③解得a₁=$\frac{1}{4}$．
所以a₂=a₁+d=$\frac{3}{4}$．
故選：A．

點(diǎn)評 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了學(xué)生的計(jì)算能力，是基礎(chǔ)的計(jì)算題．