Question

6．已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，實(shí)數(shù)x，y滿足$\left\{\begin{array}{l}{2x-y-1≤0}\\{x+y-3≤0}\\{x≥1}\end{array}\right.$且點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，y），（2，$\frac{1}{x}$），則z=$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$的取值范圍為[5，9]．

Answer 1

分析 z=$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=2+2y+$\frac{1+y}{x}$，$\frac{1+y}{x}$的幾何意義是點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)C（0，-1）連線的斜率，從而作圖利用線性規(guī)劃求解．

解答 解：z=$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=（1，y）•（2，$\frac{1}{x}$）=2+$\frac{1}{x}$+2y+$\frac{y}{x}$=2+2y+$\frac{1+y}{x}$，
$\frac{1+y}{x}$的幾何意義是點(diǎn)（x，y）與點(diǎn)C（0，-1）連線的斜率，
作平面區(qū)域如下，
，
易知k_AC=$\frac{1-（-1）}{1-0}$=2，k_BC=$\frac{2-（-1）}{1-0}$=3，
結(jié)合圖象可得，
2+1+2≤2+2y+$\frac{1+y}{x}$≤2+4+3，
即5≤2+2y+$\frac{1+y}{x}$≤9．
故答案為：[5，9]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量與線性規(guī)劃問題，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．