Question

7．已知函數(shù)f（x）=lnx-ax²-a+2（a∈R，a為常數(shù)）
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若存在x₀∈（0，1]，使得對任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+f（x₀）＞0（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）都成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對a分類分析原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由（1）可得，當(dāng)a∈（-2，0]，f（x）在（0，1]上為增函數(shù)，求出f（x）在（0，1]上的最大值，把存在x₀∈（0，1]，使得對任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+f（x₀）＞0都成立，轉(zhuǎn)化為對任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+f（x₀）＞0都成立，分離參數(shù)m，再由導(dǎo)數(shù)求得最值后得答案．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
${f}^{′}（x）=\frac{1}{x}-2ax=\frac{1-2a{x}^{2}}{x}$，
當(dāng)a≤0時，f′（x）≥0，∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞增；
當(dāng)a＞0時，由f′（x）≥0，且x＞0時，解得$0＜x≤\sqrt{\frac{1}{2a}}$，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間$（0，\sqrt{\frac{1}{2a}}]$上單調(diào)遞增，在區(qū)間$[\sqrt{\frac{1}{2a}}，+∞）$上單調(diào)遞減；
（2）由（1）知，當(dāng)a∈（-2，0]時，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1]上單調(diào)遞增，
∴x∈（0，1]時，函數(shù)f（x）的最大值是f（1）=2-2a，
對任意的a∈（-2，0]，都存在x₀∈（0，1]，不等式me^a+f（x₀）＞0都成立，
等價于對任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+f（x₀）＞0都成立，
即對任意的a∈（-2，0]，不等式me^a+2-2a＞0都成立，
不等式me^a+2-2a＞0可化為$m＞\frac{2a-2}{{e}^{a}}$，
記$g（a）=\frac{2a-2}{{e}^{a}}$（a∈（-2，0]），則g′（a）=$\frac{2{e}^{a}-（2a-2）{e}^{a}}{{e}^{2a}}=\frac{4-2a}{{e}^{a}}＞0$，
∴g（a）＞g（-2）=-6e²，
∴實數(shù)m的取值范圍是（-6e²，+∞）．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，訓(xùn)練了恒成立問題的解決方法，考查分離變量法，解答此題的關(guān)鍵在于把恒成立問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式，屬難度較大題目．