分析 (1)求得f(x)的導數(shù),可得切線的斜率和切點,運用點斜式方程可得切線的方程;
(2)由f(x)>0對x∈(0,+∞)恒成立,a>(lnxx2)max,設h(x)=lnxx2(x>0),求出a的范圍,結(jié)合f(x)•g(x)>0對x∈(0,+∞)恒成立,得到a<exx對x∈(0,+∞)恒成立.設H(x)=exx,求出a的范圍,取交集即可.
解答 解:(1)函數(shù)f(x)=7x2-lnx的導數(shù)為f′(x)=14x-1x,
曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線斜率為14-1=13,
切點為(1,7),可得切線的方程為y-7=13(x-1),
即為13x-y-6=0;
(2)若f(x)>0對x∈(0,+∞)恒成立,
即ax2-lnx>0對x∈(0,+∞)恒成立,則a>(lnxx2)max,
設h(x)=lnxx2(x>0),
則h′(x)=1−2lnxx3,
當0<x<e12時,h'(x)>0,函數(shù)h(x)遞增;
當x>e12時,h'(x)<0,函數(shù)h(x)遞減.
所以當x>0時,h(x)max=h(e12)=12e,
∴a>12e.
∵h(x)無最小值,
∴f(x)<0對x∈(0,+∞)恒成立不可能.
∵f(x)•g(x)>0對x∈(0,+∞)恒成立,
∴g(x)=ex-ax>0,即a<exx對x∈(0,+∞)恒成立.
設H(x)=exx,
∴H′(x)=ex(x−1)x2,
當0<x<1時,H'(x)<0,函數(shù)H(x)遞減;
當x>1時,H'(x)>0,函數(shù)H(x)遞增,
所以當x>0時,H(x)min=H(1)=e,
∴a<e.
綜上可得,12e<a<e.
點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題,考查導數(shù)的應用以及函數(shù)恒成立問題,考查分類討論思想,是一道綜合題.
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A. | (0,1) | B. | (0,12] | C. | [1,+∞) | D. | [12,+∞) |
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